壹、等腰（邊）三角形存在問題：
典型例題：版權歸錦元數學工作室，不得轉載
例1：（2012廣西崇左10分）如圖所示，拋物線 （a≠0）的頂點坐標為點（－2，3），且拋物線 與y軸交於點B（0，2）. （1）求該拋物線的解析式；（2）是否在x軸上存在點P使△PAB為等腰三角形，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若點P是x軸上任意壹點，則當PA－PB最大時，求點P的坐標.
例2：（2012遼寧朝陽14分）已知，如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的斜邊BC在x軸上，直角頂點A在y軸的正半軸上，A（0，2），B（－1，0）。
（1）求點C的坐標；（2）求過A、B、C三點的拋物線的解析式和對稱軸；
（3）設點P（m，n）是拋物線在第壹象限部分上的點，△PAC的面積為S，求S關於m的函數關系式，並求使S最大時點P的坐標；
（4）在拋物線對稱軸上，是否存在這樣的點M，使得△MPC（P為上述（3）問中使S最大時點）為等腰三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由。
例3：（2012山東臨沂13分）如圖，點A在x軸上，OA=4，將線段OA繞點O順時針旋轉120°至OB的位置．（1）求點B的坐標；（2）求經過點A．O、B的拋物線的解析式；
（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，說明理由．
例4：（2012內蒙古包頭12分）已知直線y = 2x + 4 與x 軸、y 軸分別交於A , D 兩點，拋物線 經過點A , D ，點B 是拋物線與x 軸的另壹個交點。
（1）求這條拋物線的解析式及點B 的坐標；
（2）設點M 是直線AD 上壹點，且 ，求點M 的坐標；
（3）如果點C（2，y）在這條拋物線上，在y 軸的正半軸上是否存在點P，使△BCP為等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。
例5：（2012福建龍巖14分）在平面直角坐標系xoy中， 壹塊含60°角的三角板作如圖擺放，斜邊 AB在x軸上，直角頂點C在y軸正半軸上，已知點A（－1，0）．
（1）請直接寫出點B、C的坐標：B（ ， ）、C（ ， ）；並求經過A、B、C三點的拋物線解析式；
（2）現有與上述三角板完全壹樣的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把頂點E放在線段AB上（點E是不與A、B兩點重合的動點），並使ED所在直線經過點C． 此時，EF所在直線與（1）中的拋物線交於第壹象限的點M．
①設AE=x，當x為何值時，△OCE∽△OBC；
②在①的條件下探究：拋物線的對稱軸上是否存在點P使△PEM是等腰三角形，若存在，請求點P的坐標；若不存在，請說明理由．
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1. (2012廣西百色10分)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2＋bx＋6經過點A(－3，0)和點B(2，0)．直線y＝h（h為常數，且0＜h＜6）與BC交於點D，與y軸交於點E，與AC交於點F，與拋物線在第二象限交於點G．（1）求拋物線的解析式；
（2）連接BE，求h為何值時，△BDE的面積最大；
（3）已知壹定點M（－2，0）．問：是否存在這樣的直線y＝h，使△OMF是等腰三角形，若存在，請求出h的值和點G的坐標；若不存在，請說明理由．
y=h
2. （2012江西省10分）如圖，已知二次函數L1：y=x2﹣4x+3與x軸交於A．B兩點（點A在點B左邊），與y軸交於點C．（1）寫出二次函數L1的開口方向、對稱軸和頂點坐標；
（2）研究二次函數L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．
①寫出二次函數L2與二次函數L1有關圖象的兩條相同的性質；
②是否存在實數k，使△ABP為等邊三角形？如果存在，請求出k的值；如不存在，請說明理由；③若直線y=8k與拋物線L2交於E、F兩點，問線段EF的長度是否發生變化？如果不會，請求出EF的長度；如果會，請說明理由．
3. （2012湖南衡陽10分）如圖所示，已知拋物線的頂點為坐標原點O，矩形ABCD的頂點A，D在拋物線上，且AD平行x軸，交y軸於點F，AB的中點E在x軸上，B點的坐標為（2，1），點P（a，b）在拋物線上運動．（點P異於點O）
（1）求此拋物線的解析式．（2）過點P作CB所在直線的垂線，垂足為點R，①求證：PF=PR；②是否存在點P，使得△PFR為等邊三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；③延長PF交拋物線於另壹點Q，過Q作BC所在直線的垂線，垂足為S，試判斷△RSF的形狀．
4. （2012湖南永州10分）如圖所示，已知二次函數y=ax2+bx﹣1（a≠0）的圖象過點A（2，0）和B（4，3），l為過點（0，﹣2）且與x軸平行的直線，P（m，n）是該二次函數圖象上的任意壹點，過P作PH⊥l，H為垂足．
（1）求二次函數y=ax2+bx﹣1（a≠0）的解析式；（2）請直接寫出使y＜0的對應的x的取值範圍；（3）對應當m=0，m=2和m=4時，分別計算|PO|2和|PH|2的值．由此觀察其規律，並猜想壹個結論，證明對於任意實數m，此結論成立；
（4）試問是否存在實數m可使△POH為正三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．
5. （2012廣東梅州11分）如圖，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2 ）、D（0，3 ），射線l過點D且與x軸平行，點P、Q分別是l和x軸正半軸上動點，滿足∠PQO=60°．
（1）①點B的坐標是 ；②∠CAO= 度；③當點Q與點A重合時，點P的坐標為 ；（直接寫出答案）
（2）設OA的中心為N，PQ與線段AC相交於點M，是否存在點P，使△AMN為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的橫坐標為m；若不存在，請說明理由．
（3）設點P的橫坐標為x，△OPQ與矩形OABC的重疊部分的面積為S，試求S與x的函數關系式和相應的自變量x的取值範圍．
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例1：（2012山東棗莊10分）在平面直角坐標系中，現將壹塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠
在兩坐標軸上，點C為 (－1，0) ．如圖所示，B點在拋物線y＝x2＋x－2圖象上，過點B作
BD⊥x軸，垂足為D，且B點橫坐標為－3．
（1）求證：△BDC≌△COA；
（2）求BC所在直線的函數關系式；
（3）拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所
有點P的坐標；若不存在，請說明理由．
例2：（2012重慶市12分）已知：如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E為BC邊上壹點，以BE為邊作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同側．
（1）當正方形的頂點F恰好落在對角線AC上時，求BE的長；
（2）將（1）問中的正方形BEFG沿BC向右平移，記平移中的正方形BEFC為正方形B′EFG，當點E與點C重合時停止平移．設平移的距離為t，正方形B′EFG的邊EF與AC交於點M，連接B′D，B′M，DM，是否存在這樣的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
（3）在（2）問的平移過程中，設正方形B′EFG與△ADC重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數關系式以及自變量t的取值範圍．
例3：（2012內蒙古赤峰12分）如圖，拋物線 與x軸交於A．B兩點（點A在點B的左側），與y軸交於點C，點C與點F關於拋物線的對稱軸對稱，直線AF交y軸於點E，|OC|：|OA|=5：1．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求直線AF的解析式；
（3）在直線AF上是否存在點P，使△CFP是直角三角形？若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由．
例4：（2012海南省13分）如圖，頂點為P（4，－4）的二次函數圖象經過原點（0，0），點A在該圖象上，
OA交其對稱軸 於點M，點M、N關於點P對稱，連接AN、ON
（1）求該二次函數的關系式.
（2）若點A的坐標是（6，－3），求△ANO的面 積.
（3）當點A在對稱軸 右側的二次函數圖象上運動，請解答下列問題：
①證明：∠ANM=∠ONM
②△ANO能否為直角三角形？如果能，請求出所有符合條件的點A的坐標，如果不能，請說明理由.
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1. （2012廣西河池12分）如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底邊BC的垂直平分線和BC所
在的直線建立平面直角坐標系，拋物線 經過A、B兩點.
（1）寫出點A、點B的坐標；
（2）若壹條與y軸重合的直線l以每秒2個單位長度的速度向右平移，分別交線段OA、CA和拋物
線於點E、M和點P，連結PA、PB.設直線l移動的時間為t（0＜t＜4）秒，求四邊形PBCA的面積S（面積單 位）與t（秒）的函數關系式，並求出四邊形PBCA的最大面積；
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在壹點P，使得△PAM是直角三角形？若存在，請求出點P
的坐標；若不存在，請說明理由.
2：（2012湖南邵陽12分）如圖所示，直線 與x軸相交於點A（4，0），與y軸相交於點B，將△AOB沿著y軸折疊，使點A落在x軸上，點A的對應點為點C.
⑴求點C的坐標；
⑵設點P為線段CA上的壹個動點，點P與點A、C不重合，連結PB，以點P為端點作射線PM交AB於點M，使∠BPM=∠BAC① 求證：△PBC∽△MPA；
② 是否存在點P使△PBM為直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。
3. （2012雲南省9分）如圖，在平面直角坐標系中，直線 交x軸於點P，交y軸於點A．拋物線 的圖象過點E（－1，0），並與直線相交於A、B兩點．
（1）求拋物線的解析式（關系式）；（2）過點A作AC⊥AB交x軸於點C，求點C的坐標；
（3）除點C外，在坐標軸上是否存在點M，使得△MAB是直角三角形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
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例1：（2012山西省14分）綜合與實踐：如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交於A．B兩點，與y軸交於點C，點D是該拋物線的頂點．
（1）求直線AC的解析式及B．D兩點的坐標；
（2）點P是x軸上壹個動點，過P作直線l∥AC交拋物線於點Q，試探究：隨著P點的運動，在拋物線上是否存在點Q，使以點A．P、Q、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）請在直線AC上找壹點M，使△BDM的周長最小，求出M點的坐標．
例2：（2012山東日照10分）如圖，二次函數y=x2＋bx＋c的圖象與x軸交於A、B兩點，且A點坐標為
（－3，0），經過B點的直線交拋物線於點D（－2，－3）.
（1）求拋物線的解析式和直線BD解析式；
（2）過x軸上點E（a，0）（E點在B點的右側）作直線EF∥BD，交拋物線於點F，是否存在實數a使四邊形BDFE是平行四邊形？如果存在，求出滿足條件的a；如果不存在，請說明理由.
例3：（2012廣西北海12分）如圖，在平面直角坐標系中有Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝AC，A（－2，0）、B（0，1）、C（d，2）。
（1）求d的值；
（2）將△ABC沿x軸的正方向平移，在第壹象限內B、C兩點的對應點B′、C′正好落在某反比例函數圖像上。請求出這個反比例函數和此時的直線B′C′的解析式；
（3）在（2）的條件下，直線B′C′交y軸於點G。問是否存在x軸上的點M和反比例函數圖像上的點P使得四邊形PGMC′是平行四邊形。如果存在，請求出點M和點P的坐標；如果不存在，請說明理由。
例4：（2012遼寧丹東14分）已知拋物線 與y軸交於C點，與x軸交於A、B兩點，點A的坐標是（－1，0），O是坐標原點，且 ．
（1）求拋物線的函數表達式； （2）直接寫出直線BC的函數表達式；
（3）如圖1，D為y軸的負半軸上的壹點，且OD=2，以OD為邊作正方形ODEF.將正方形ODEF以每秒1個單位的速度沿x軸的正方向移動，在運動過程中，設正方形ODEF與△OBC重疊部分的面積為s，運動的時間為t秒（0＜t≤2）.
求：①s與t之間的函數關系式；
②在運動過程中，s是否存在最大值？如果存在，直接寫出這個最大值；如果不存在，請說明理由．
（4）如圖2，點P（1，k）在直線BC上，點M在x軸上，點N在拋物線上，是否存在以A、M、N、P為頂點的平行四邊形？若存在，請直接寫出M點坐標；若不存在，請說明理由.
例5：（2012黑龍江黑河、齊齊哈爾、大興安嶺、雞西10分）如圖，在平面直角坐標系中，已知Rt△AOB的兩條直角邊0A、08分別在y軸和x軸上，並且OA、OB的長分別是方程x2—7x+12=0的兩根(OA<0B)，動點P從點A開始在線段AO上以每秒l個單位長度的速度向點O運動；同時，動點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A運動，設點P、Q運動的時間為t秒．
(1)求A、B兩點的坐標。(2)求當t為何值時，△APQ與△AOB相似，並直接寫出此時點Q的坐標．
(3)當t=2時，在坐標平面內，是否存在點M，使以A、P、Q、M為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在，請直接寫出M點的坐標；若不存在，請說明理 由．
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1. （2012貴州安順14分）如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊長OA、OC分別為12cm、6cm，點A、C分別在y軸的負半軸和x軸的正半軸上，拋物線y=ax2+bx+c經過點A、B，且18a+c=0．
（1）求拋物線的解析式．
（2）如果點P由點A開始沿AB邊以1cm/s的速度向終點B移動，同時點Q由點B開始沿BC邊以2cm/s的速度向終點C移動．
①移動開始後第t秒時，設△PBQ的面積為S，試寫出S與t之間的函數關系式，並寫出t的取值範圍．
②當S取得最大值時，在拋物線上是否存在點R，使得以P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出R點的坐標；如果不存在，請說明理由．
2. （2012湖北恩施8分）如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與壹直線相交於A（﹣1，0），C（2，3）兩點，與y軸交於點N．其頂點為D．（1）拋物線及直線AC的函數關系式；
（2）設點M（3，m），求使MN+MD的值最小時m的值；
（3）若拋物線的對稱軸與直線AC相交於點B，E為直線AC上的任意壹點，過點E作EF∥BD交拋物線於點F，以B，D，E，F為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點E的坐標；若不能，請說明理由；（4）若P是拋物線上位於直線AC上方的壹個動點，求△APC的面積的最大值．
3. （2012四川宜賓10分）如圖，拋物線y=x2﹣2x+c的頂點A在直線l：y=x﹣5上．
（1）求拋物線頂點A的坐標；
（2）設拋物線與y軸交於點B，與x軸交於點C．D（C點在D點的左側），試判斷△ABD的形狀；
（3）在直線l上是否存在壹點P，使以點P、A．B．D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．
4. （2012湖南婁底10分）已知二次函數y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m的圖象與x軸交於點A（x1，0）和點B（x2，0），x1＜x2，與y軸交於點C，且滿足 ．
（1）求這個二次函數的解析 式；
（2）探究：在直線y=x+3上是否存在壹點P，使四邊形PACB為平行四邊形？如果有，求出點P的坐標；如果沒有，請說明理由．
四、矩形、菱形、正方形存在問題；
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例1：（2012黑龍江龍東地區10分）如圖，在平面直角坐標系中，直角梯形OABC的邊OC、OA分別與x軸、y軸重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12 ，點C的坐標為（－18，0）（1）求點B的坐標；
（2）若直線DE交梯形對角線BO於點D，交y軸於點E，且OE=4，OD=2BD，求直線DE的解析式；（3）若點P是（2）中直線DE上的壹個動點，在坐標平面內是否存在點Q，使以O、E、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由。
例2：（2012貴州六盤水16分）如圖1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果點P由B出發沿BA方向點A勻速運動，同時點Q由A出發沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為2cm/s．連接PQ，設運動的時間為t（單位：s）（0≤t≤4）．解答下列問題：
（1）當t為何值時，PQ∥BC．
（2）設△AQP面積為S（單位：cm2），當t為何值時，S取得最大值，並求出最大值．
（3）是否存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．（4）如圖2，把△AQP沿AP翻折，得到四邊形AQPQ′．那麽是否存在某時刻t，使四邊形AQPQ′為菱形？若存在，求出此時菱形的面積；若不存在，請說明理由．
例3：（2012遼寧鐵嶺14分）如圖，已知拋物線經過原點O和x軸上壹點A（4，0），拋物線頂點為E，
它的對稱軸與x軸交於點D.直線 經過拋物線上壹點B（－2，m）且與y軸交於點C，與拋物線
的對稱軸交於點F.
（1）求m的值及該拋物線對應的解析式；
（2）P 是拋物線上的壹點，若S△ADP=S△ADC,求出所有符合條件的點P的坐標；
（3）點Q是平面內任意壹點，點M從點F出發，沿對稱軸向上以每秒1個單位長度的速度勻速運動，設點M的運動時間為t秒，是否能使以Q、A、E、M四點為頂點的四邊形是菱形.若能，請直接寫出點M的運動時間t的值；若不能，請說明理由.
備用圖
例4：（2012福建漳州12分）已知拋物線y= x2 + 1(如圖所示)．
(1)填空：拋物線的頂點坐標是(______，______)，對稱軸是_____；
(2)已知y軸上壹點A(0，2)，點P在拋物線上，過點P作PB⊥x軸，垂足為B．若△PAB是等邊三角形，求點P的坐標；
(3)在(2)的條件下，點M在直線AP上．在平面內是否存在點N，使四邊形OAMN為菱形?若存在，直接寫出所有滿足條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由．
例5：（2012內蒙古通遼12分）如圖，在平面直角坐標系中，將壹個正方形ABCD放在第壹象限斜靠在兩坐標軸上，且點A（0，2）、點B（1，0），拋物線y=ax2﹣ax﹣2經過點C．
（1）求點C的坐標；（2）求拋物線的解析式；版權歸錦元數學工作室，不得轉載
（3）在拋物線上是否存在點P與點Q（點C、D除外）使四邊形ABPQ為正方形？若存在求出點P、Q兩點坐標，若不存在說明理由．
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1. （2012山東煙臺12分）如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的三個頂點B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A為頂點的拋物線y=ax2+bx+c過點C．動點P從點A出發，沿線段AB向點B運動．同時動點Q從點C出發，沿線段CD向點D運動．點P，Q的運動速度均為每秒1個單位．運動時間為t秒．過點P作PE⊥AB交AC於點E．
（1）直接寫出點A的坐標，並求出拋物線的解析式；
（2）過點E作EF⊥AD於F，交拋物線於點G，當t為何值時，△ACG的面積最大？最大值為多少？（3）在動點P，Q運動的過程中，當t為何值時，在矩形ABCD內（包括邊界）存在點H，使以C，Q，E，H為頂點的四邊形為菱形？請直接寫出t的值．
2. （2012福建福州13分）如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90?，AC＝6，BC＝8，動點P從點A開始沿邊AC向點C以每秒1個單位長度的速度運動，動點Q從點C開始沿邊CB向點B以每秒2個單 位長度的速度運動，過點P作PD∥BC，交AB於點D，連接PQ．點P、Q分別從點A、C同時出發，當其中壹點到達端點時，另壹點也隨之停止運動，設運動時間為t秒(t≥0)．
(1) 直接用含t的代數式分別表示：QB＝______，PD＝______．
(2) 是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．並探究如何改變點Q的速度(勻速運動)，使四邊形PDBQ在某壹時刻為菱形，求點Q的速度；(3) 如圖②，在整個運動過程中，求出線段PQ中點M所經過的路徑長．
3. （2012遼寧錦州14分）如圖，拋物線 交 軸於點C，直線 l為拋物線的對稱軸，點P在第三象限且為拋物線的頂點.P到 軸的距離為 ，到 軸的距離為1.點C關於直線l的對稱點為A，連接AC交直線 l於B.
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（2）直線 與拋物線在第壹象限內交於點D，與 軸交於點F,連接BD交 軸於點E，且
DE:BE=4:1.求直線 的表達式；
（3）若N為平面直角坐標系內的點，在直線 上是否存在點M，使得以點O、F、M、N為
頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由.
4. （2012青海省12分）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交於A、B兩點，A點在原點的左側，B點的坐標為（3，0），與y軸交於C（0，﹣3）點，點P是直線BC下方的拋物線上壹動點．（1）求這個二次函數的表達式．
（2）連接PO、PC，並把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那麽是否存在點P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）當點P運動到什麽位置時，四邊形ABPC的面積最大並求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面積．