壹,基本問題
"雞兔同籠"是壹類有名的中國古算題.最早出現在《孫子算經》中.許多小學算術應用題都可以轉化成這類問題,或者用解它的典型解法--"假設法"來求解.因此很有必要學會它的解法和思路.
例1 有若幹只雞和兔子,它們***有88個頭,244只腳,雞和兔各有多少只
解:我們設想,每只雞都是"金雞獨立",壹只腳站著;而每只兔子都用兩條後腿,像人壹樣用兩只腳站著.現在,地面上出現腳的總數的壹半,·也就是
244÷2=122(只).
在122這個數裏,雞的頭數算了壹次,兔子的頭數相當於算了兩次.因此從122減去總頭數88,剩下的就是兔子頭數
122-88=34,
有34只兔子.當然雞就有54只.
答:有兔子34只,雞54只.
上面的計算,可以歸結為下面算式:
總腳數÷2-總頭數=兔子數.
上面的解法是《孫子算經》中記載的.做壹次除法和壹次減法,馬上能求出兔子數,多簡單!能夠這樣算,主要利用了兔和雞的腳數分別是4和2,4又是2的2倍.可是,當其他問題轉化成這類問題時,"腳數"就不壹定是4和2,上面的計算方法就行不通.因此,我們對這類問題給出壹種壹般解法.
還說例1.
如果設想88只都是兔子,那麽就有4×88只腳,比244只腳多了
88×4-244=108(只).
每只雞比兔子少(4-2)只腳,所以***有雞
(88×4-244)÷(4-2)= 54(只).
說明我們設想的88只"兔子"中,有54只不是兔子.而是雞.因此可以列出公式
雞數=(兔腳數×總頭數-總腳數)÷(兔腳數-雞腳數).
當然,我們也可以設想88只都是"雞",那麽***有腳2×88=176(只),比244只腳少了
244-176=68(只).
每只雞比每只兔子少(4-2)只腳,
68÷2=34(只).
說明設想中的"雞",有34只是兔子,也可以列出公式
兔數=(總腳數-雞腳數×總頭數)÷(兔腳數-雞腳數).
上面兩個公式不必都用,用其中壹個算出兔數或雞數,再用總頭數去減,就知道另壹個數.
假設全是雞,或者全是兔,通常用這樣的思路求解,有人稱為"假設法".
現在,拿壹個具體問題來試試上面的公式.
例2 紅鉛筆每支0.19元,藍鉛筆每支0.11元,兩種鉛筆***買了16支,花了2.80元.問紅,藍鉛筆各買幾支
解:以"分"作為錢的單位.我們設想,壹種"雞"有11只腳,壹種"兔子"有19只腳,它們***有16個頭,280只腳.
現在已經把買鉛筆問題,轉化成"雞兔同籠"問題了.利用上面算兔數公式,就有
藍筆數=(19×16-280)÷(19-11)
=24÷8
=3(支).
紅筆數=16-3=13(支).
答:買了13支紅鉛筆和3支藍鉛筆.
對於這類問題的計算,常常可以利用已知腳數的特殊性.例2中的"腳數"19與11之和是30.我們也可以設想16只中,8只是"兔子",8只是"雞",根據這壹設想,腳數是
8×(11+19)=240.
比280少40.
40÷(19-11)=5.
就知道設想中的8只"雞"應少5只,也就是"雞"(藍鉛筆)數是3.
30×8比19×16或11×16要容易計算些.利用已知數的特殊性,靠心算來完成計算.
實際上,可以任意設想壹個方便的兔數或雞數.例如,設想16只中,"兔數"為10,"雞數"為6,就有腳數
19×10+11×6=256.
比280少24.
24÷(19-11)=3,
就知道設想6只"雞",要少3只.
要使設想的數,能給計算帶來方便,常常取決於妳的心算本領.
下面再舉四個稍有難度的例子.
例3 壹份稿件,甲單獨打字需6小時完成.乙單獨打字需10小時完成,現在甲單獨打若幹小時後,因有事由乙接著打完,***用了7小時.甲打字用了多少小時
解:我們把這份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍數),甲每小時打30÷6=5(份),乙每小時打30÷10=3(份).
現在把甲打字的時間看成"兔"頭數,乙打字的時間看成"雞"頭數,總頭數是7."兔"的腳數是5,"雞"的腳數是3,總腳數是30,就把問題轉化成"雞兔同籠"問題了.
根據前面的公式
"兔"數=(30-3×7)÷(5-3)
=4.5,
"雞"數=7-4.5
=2.5,
也就是甲打字用了4.5小時,乙打字用了2.5小時.
答:甲打字用了4小時30分.
例4 今年是1998年,父母年齡(整數)和是78歲,兄弟的年齡和是17歲.四年後(2002年)父的年齡是弟的年齡的4倍,母的年齡是兄的年齡的3倍.那麽當父的年齡是兄的年齡的3倍時,是公元哪壹年
解:4年後,兩人年齡和都要加8.此時兄弟年齡之和是17+8=25,父母年齡之和是78+8=86.我們可以把兄的年齡看作"雞"頭數,弟的年齡看作"兔"頭數.25是"總頭數".86是"總腳數".根據公式,兄的年齡是
(25×4-86)÷(4-3)=14(歲).
1998年,兄年齡是
14-4=10(歲).
父年齡是
(25-14)×4-4=40(歲).
因此,當父的年齡是兄的年齡的3倍時,兄的年齡是
(40-10)÷(3-1)=15(歲).
這是2003年.
答:公元2003年時,父年齡是兄年齡的3倍.
例5 蜘蛛有8條腿,蜻蜓有6條腿和2對翅膀,蟬有6條腿和1對翅膀.現在這三種小蟲***18只,有118條腿和20對翅膀.每種小蟲各幾只
解:因為蜻蜓和蟬都有6條腿,所以從腿的數目來考慮,可以把小蟲分成"8條腿"與"6條腿"兩種.利用公式就可以算出8條腿的
蜘蛛數=(118-6×18)÷(8-6)
=5(只).
因此就知道6條腿的小蟲***
18-5=13(只).
也就是蜻蜓和蟬***有13只,它們***有20對翅膀.再利用壹次公式
蟬數=(13×2-20)÷(2-1)=6(只).
因此蜻蜓數是13-6=7(只).
答:有5只蜘蛛,7只蜻蜓,6只蟬.
例6 某次數學考試考五道題,全班52人參加,***做對181道題,已知每人至少做對1道題,做對1道的有7人,5道全對的有6人,做對2道和3道的人數壹樣多,那麽做對4道的人數有多少人
解:對2道,3道,4道題的人***有
52-7-6=39(人).
他們***做對
181-1×7-5×6=144(道).
由於對2道和3道題的人數壹樣多,我們就可以把他們看作是對2.5道題的人((2+3)÷2=2.5).這樣
兔腳數=4,雞腳數=2.5,
總腳數=144,總頭數=39.
對4道題的有
(144-2.5×39)÷(4-1.5)=31(人).
答:做對4道題的有31人.
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