函數的定義通常分為傳統定義和現代定義。函數的兩種定義本質相同，但描述概念的出發點不同。傳統的定義是從運動變化的角度，現代的定義是從集合和映射的角度。
函數的現代定義是給定壹個數集A，假設其中的元素是X，將相應的規則F應用於A中的元素X，記為f(x)得到另壹個數集B，假設B中的元素是Y，Y與X的等價關系可以表示為y=f(x)。壹個函數的概念包含定義域A、取值域B和對應規則F三個要素，其中，核心是對應規則F，這是函數關系的本質特征。
函數最初是由中國清朝的數學家李在他的《代數》壹書中翻譯的。他之所以這樣翻譯，是因為“誰相信這個變量，誰就是那個變量的函數”，即函數是指壹個量隨著另壹個量而變化，或者說是壹個量。