②當E和A不重合時；很容易證明△AEM?△DFM，則EM=FM，由勾股定理可以很容易地求出EM的長度，從而可以求出EF的長度；我們來求MG的長度，如果m是n中的MN⊥BC，那麽AB=MN=2AM。由於∠AME和∠NMC都是∠EMN的余角，我們可以證明△AEM∽△NCM，並且根據相似三角形得到的AM，MN，EM，MC的比例關系。
(2)可以分別確定E和A與E和B重合時點P的位置。這時可以發現，PP′正好是△egg′的中線，P點的移動距離是gg′的壹半；在rt△BMG '′，mg⊥BG′中，很容易證明∠mbg =∠gmg′。根據∠ MBG的正切值，得出GG′與GM(即正方形的邊長)的比例關系，就可以得到解。解法:(1)。
當e點與a點不重合時，0 < y ≤ 2。
在正方形ABCD中，∠ A = ∠ ADC = 90。
∴∠MDF=90 ,∴∠A=∠MDF
AM = DM，∠AME=∠DMF
∴△AME≌△DMF
∴ME=MF
在Rt△AME中，AE=x，AM=1，ME = $ \ sqrt {{x} {2}+1} $
∴ef=2me=2$\sqrt{{x}^{2}+1}$
m是MN⊥BC，豎腳是n(如圖)。
那麽< mng = 90，< amn = 90，MN=AB=AD=2AM。
∴∠AME+∠EMN=90
∠∠EMG = 90
∴∠GMN+∠EMN=90
∴∠AME=∠GMN
∴Rt△AME∽Rt△NMG
∴$ \ frac { am } { nm } $ = $ \ frac { me } { mg } $，即$ \ frac { me } { mg } $ = $ \ frac { 1 } { 2 } $
∴mg=2me=2$\sqrt{{x}^{2}+1}$
∴y=$\frac{1}{2}$ef×mg=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{{x}^{2}+1}$×2$\sqrt{{x}^{2}+1}$=2x2+2
Y = 2x2+2，其中0≤x≤2；(6分)
(2)如圖所示，PP’為點P的移動距離；
在Rt△BMG '，mg⊥BG '；
∴∠mbg=∠g′mg=90-∠BMG；
∴tan∠bmg=tan∠gmg′=2；
∴gg′=2bg=4；
△MGG’，P和P’分別是MG和MG’的中點，
∴PP'是△mgg’的中線；
∴pp′=$\frac{1}{2}$gg′=2；
即，點P的移動路線的長度是2。(8分)