(1)當平移到圖3所示的位置時，猜測圖中的和之間的數量關系，並證明自己的猜測；
(2)設平移距離為，重疊面積為，請寫出和與自變量範圍的函數關系；
(3)對於(2)中的結論，重疊部分的面積等於原面積，是否存在這樣的值？
如果存在，求x的值；如果不存在，請說明原因。
【解法】(1)。因為，因此。
因為CD是斜邊的中線，
所以，那就是
所以所以。
所以，用同樣的方法:
因為所以。所以。
②因為在，，所以從勾股定理，我們得到
也就是
因為所以。所以。
在中，到的距離是邊的高度，即。
集合邊緣的高行為是通過探索獲得的，所以。
所以。
因為還是那句話。
因為還是那句話。
所以，
但是
因此
(3)存在。何時，即
整理壹下，想個辦法。
即，當或時，重疊部分的面積等於原始面積。
2.(浙江金華，2006)如圖所示，在平面直角坐標系中，直線AB與軸分別相交於A (3，0)和B (0，0)兩點，c點為線段AB上的動點，交點c為d點處的CD⊥軸.
(1)求直線AB的解析式；
(2)若S-梯形OBCD= =，求c點的坐標；
(3)第壹象限中是否存在點P，使得P，O，B，O，B為頂點。
三角形類似於△OBA。如果存在，請求滿足要求的所有條件。
點p的坐標；如果不存在，請說明原因。
【解】(1)直線AB的解析式為:y = x+。
(2)方法壹:設C點為(x，x+)，則OD = x，CD = x+。
∴ = = .
從題意來看:=，get(省去)
∴ C(2)
方法二:∫，=，∴.
從OA= OB，∠ Bao = 30，AD= CD..
∴ = CD× ad = =。可用CD =。
∴ AD=1，OD=2。∴C(2)。
(3)當∠OBP = RT∞時，如圖。
①如果△BOP∽△OBA，△ bop = ∠ bao = 30，BP= OB=3，
∴ (3, ).
②如果△BPO∽△OBA，△ BPO = △ BAO = 30，OP = OB = 1。
∴ (1, ).
當∠OPB = RT∞。
(3)若穿過p點，則在p點做OP⊥BC(如圖)，此時△PBO∽△OBA，∠ BOP = ∠ Bao = 30。
通過點p作為點m的PM⊥OA
方法壹:在Rt△PBO中，BP= OB= =，OP = BP =。
∫在Rt△PMO中∠ OPM = 30，
om = op =PM= OM=。∴ ( , ).
方法二:設P(x，x+)，得到OM = x，PM = x+。
From ∠ bop = ∠ Bao，∠ POM = ∠ ABO。
∫tan∠POM = =，tan∠ABOC= =。
∴ x+= x，解是x =。這個時候，(，)。
④如果△POB∽△OBA(如圖)，則△ OBP = △鮑= 30，△ POM = 30。
∴ PM= OM=。
∴(，)(壹個點的坐標也可以從對稱性得到)。
當∠OPB = RT∞時，點P在X軸上，不滿足要求。
總的來說，有四個合格點，即:
(3, ), (1, ), ( , ), ( , ).
3.(山東濟南，2006)如圖1，已知，，，過點，連線過點。
(1)的長度；
(2)以該點為圓心，半徑為⊙A，試判斷是否與⊙A相切，並說明原因；
(3)如圖2，若點過，則垂足。以點為中心，半徑⊙a；以點為圓心，半徑為⊙ C，若和大小可變，且變化過程中保持⊙A和⊙C相切，使內點⊙A，外點⊙A，求和的變化範圍。
[解決方案]
(1)英寸，
。
, .
。
, .
(2)與⊙ a相切.
在，，，
, .
再說壹遍，
與⊙ a相切。
③因為，所以變化的範圍是。
當⊙A和⊙C外切時，變化範圍為；
當⊙A和⊙C內接時，變化範圍為。
4.(山東煙臺，2006)如圖所示，已知拋物線L1: y=x2-4的像與X相交於A點和C點，
(1)若拋物線l2和l1關於X軸對稱，求l2的解析表達式；
(2)若B點是拋物線l1上的動點(B與A、C不重合)，以AC為對角線，以A、B、C為頂點的平行四邊形的第四個頂點設為D，證明D點在l2上；
(3)探究:當B點位於X軸上下兩部分l1的像上時，平行四邊形ABCD的面積有最大值和最小值嗎？如果存在，判斷是什麽樣的特殊平行四邊形，求其面積；如果不存在，請說明原因。
[解決方案]
(1)設l2的解析式為y = a (x-h) 2+k。
∵l2與X軸的交點A(-2，0)，C(2，0)，頂點坐標為(0，4)，L1與L2關於X軸對稱
∴l2經過A(-2，0)，C(2，0)，頂點坐標為(0，4)。
∴y=ax2+4
∴0=4a+4 a=-1
∴l2的解析公式是y=-x2+4。
(2)設B(x1，y1)
b點在l1上。
∴B(x1，x12-4)
∵四邊形ABCD是平行四邊形，A和C關於o對稱。
∴B和d關於o對稱
∴D(-x1，-x12+4)。
將D(-x1，-x12+4)的坐標代入L2: y =-x2+4。
左=右
D點在l2上。
(3)設平行四邊形ABCD的面積為s，則
S = 2 * S△ABC = AC * | y 1 | = 4 | y 1 |
A.當b點在x軸上方時，y1>0 > 0。
∴S=4y1，它是關於y1與s成正比的函數，隨著y1的增大而增大。
∴S既沒有上限也沒有下限。
b當b點在x軸下方時，-4 ≤ y1 < 0。
∴S=-4y1，它是關於y1與s成正比的函數，隨著y1的增大而減小。
∴當y1 =-4時，s的最大值是16，但它沒有最小值。
此時B(0，-4)在Y軸上，其對稱點D也在Y軸上。
∴AC⊥BD
∴平行四邊形ABCD是菱形
此時最大S =16。
5.(浙江嘉興，2006)壹個旅遊勝地想開發壹座景觀山。從山的側面可以測出，迎面而來的山坡線ABC由兩條在同壹平面上的拋物線組成，其中AB所在的拋物線有頂點，開口向下，BC所在的拋物線有頂點，開口向上。以穿過山腳的水平線(C點)為X軸，穿過山頂的垂直線(A點)為Y軸，建立壹個平面直角坐標系，如圖。
(1)設它是山坡線AB上的任意壹點，用Y表示X，求B點的坐標；
(2)沿著迎面而來的山坡，從山頂向山下鋪設觀景臺階。每步高度為20厘米，長度視坡度而定，但不得小於20厘米。每壹步的兩端都在斜坡上(見圖)。
①分別計算前三步的長度(精確到厘米)；
(2)臺階不能壹直鋪到山腳下，為什麽？
(3)山坡上700米高度(D點)正好有壹小塊平地，可以用來建索道站。索道的起點選在山腳水平線的E點，(米)。假設索道DE可以近似看成壹個。
以E為頂點，開口向上的拋物線的解析式為。試著找出電纜軌道的最大懸掛高度。
【解法】(1)∵是山坡線AB上的任意壹點，
∴ , ,
∴ ,
∵ ,∴ =4,∴
(2)在山坡線AB上，
1訂單，搞定；制造，獲得
第壹步的長度為(100米)(厘米)。
同樣，使、可用，
第二步的長度為(100米)(厘米)。
第三步的長度為(100米)(厘米)。
(2)取點，再取，然後
∵
這種臺階不能從山頂鋪到B點，所以不能壹直鋪到山腳。
(註:其實這種臺階從山頂最多只能鋪到700米的高度，從100米的高度鋪到700米的高度就不行了。解決問題的時候，是開放的。)
②另壹種解法:連接任意壹步的兩個端點P和Q，如圖。
這個臺階的長度不小於它的高度。
∴
當其中壹個臺階比其高度長時，
在主題圖中，是用h寫的。
然後，第壹級臺階比它的高度長。
這種臺階不能從山頂鋪到B點，所以不能壹直鋪到山腳。
(3)
、 、 、
從圖中可以看出，只有當索道在BC以上時，索道的懸掛高度才能達到最大。
當索道在BC以上時，懸掛高度
什麽時候，
索道的最大懸掛高度是100米.
6.(山東濰坊，2006)已知二次函數圖像的頂點在原點和對稱軸上。壹次函數的像和二次函數的像相交於兩點(在的左側)，點的坐標為。壹條平行於軸線的直線穿過該點。
(1)求壹次函數和二次函數的解析表達式；
(2)判斷線段直徑的圓與直線的位置關系，並給出證明；
(3)將二次函數圖像向右平移壹個單位，再向下平移壹個單位。二次函數的像與軸相交於兩點，壹次函數的像與點相交。值是多少，圓過三點的面積最小？最小面積是多少？
【解決方案】(1)替代，
線性函數的解析公式為:
二次函數圖像的頂點在原點，對稱軸是軸。
假設第二分辨率函數是，
替代品，
第二個解析函數是。
(2)由
解決或者，
,
交叉點是垂直線，垂直的腳是，
然後，
直角梯形的中線長度為，
如果直線垂直於該點，那麽，
,
的長度等於從中點到直線距離的兩倍，
有直徑的圓與直線相切。
(3)平移後的二次分辨函數為，
制造，獲得，，，
過三點的圓心壹定在壹條直線上，該點為定點。
為了使圓的面積最小，圓的半徑應該等於點到直線的距離。
此時，半徑為2，面積為，
假設圓心是中點，那麽，
在壹個三角形裏，
，還有，，
當，過三點的圓的面積最小，最小面積為。
7.(2006年江西)問題背景某課外學習小組在壹次學習研討中得到了以下兩個命題:
①如圖1，在正三角形△ABC中，m和n分別是AC和AB上的點，BM和CN相交於o點，如果∠ bon = 60？，則BM = cn
②如圖2所示，在壹個正方形ABCD中，m和n分別是CD和AD上的點，BM和CN相交於o點，如果∠ bon = 90？，則BM = cn
然後利用類比的思想提出以下命題:
③如圖3所示，在正五邊形ABCDE中，M和N分別是CD和DE上的點，BM和CN相交於O點，如果∠ bon = 108？，那麽BM = cn。
任務要求:
(1)請從①、②、③三個命題中任選壹個來證明；(註:選①對，得4分，選②對，得3分，選③對，得5分)
(2)請繼續完成以下探索:
請在圖3中畫壹條DH等於CN的線，使H點在正五邊形的邊上，與CN相交所成的角為108？這樣的線段有多少？(不壹定要寫圖紙，也不需要證明)
②如圖4所示，在正五邊形ABCDE中，m和n分別是DE和EA上的點，BM和CN相交於O點，如果∠ bon = 108？結論BM = cn還成立嗎？如果有，請給出證明；如果沒有，請說明原因。
【解決方案】(1)以下答案供參考:
(1)如果選擇命題①。
證明:在圖1中，∫∠bon = 60∴∠∠1+∠2 = 60。
∵∠3+∠2=60 ,∴∠1=∠3
bc = ca，∠BCM =∞∠BCM =∠can = 60 ∴δbcm≌δcan.
∴bm=cn②如果命題被選中，②
證明:在圖2中，∫∫∠bon = 90∴∠1+∠2 = 90。
∵∠3+∠2=90 ,∴∠1=∠3
bc = cd，∠BCM =∞∠BCM =∠cdn = 90 ∴δbcm≌δcdn.
∴BM=CN
(3)如果選擇命題③。
證明；在圖3中，∫∠bon = 108∴∠1+∠2 = 108。
∵∠2+∠3=108 ∴∠1=∠3
BC = CD，∠ BCM = ∠ CDN = 108。
∴δbcm≌δcdn
∴BM=CN
(2)① A:當∠BON=，結論BM=CN成立。
②當∠ bon = 108時。BM=CN也成立。
證明；如圖5所示連接BD和CE。
在△BCI)和△CDE。
BC = CD，∠BCD=∠CDE=108，CD=DE
∴δbcd≌δCDE
∴BD=CE，BDC=∠CED，DBC=∠CEN
∠∠CDE =∠dec = 108，∴∠BDM=∠CEN
∠∠OBC+∠ECD = 108，∠OCB+∠OCD=108
∴∠MBC=∠NCD
∠∠DBC =∠ECD = 36，∴∠ DBM =∠ ECN。
∴δbdm≌δCNE ∴bm=cn
8.(吉林長春，2006)如圖所示，在平面直角坐標系中，兩個函數的像相交於a點，動點P從O點出發，沿OA方向以每秒1個單位的速度運動。設PQ‖x軸交線BC在Q點，PQ向下為PQMN的平方。設其與△OAB重疊的面積為s
(1)求A點的坐標..
(2)試求點P在線段OA上運動時，S與運動時間t(秒)的關系。
(3)在(2)的條件下，S有最大值嗎？如果是，當找出t的值是什麽時，S有最大值，並找出最大值；如果沒有，請說明原因。
(4)若P點通過A點後繼續按原方向和速度運動，當PQMN的平方與△OAB的重疊面積最大時，運動時間t滿足_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _條件。
[解決方案] (1)可從獲得。
∴A(4,4)。
(2)點p在y = x上，OP = t，
那麽點p坐標是
點q的縱坐標是，點q在上面。
∴ ,
即該點的q坐標為。
。
當，。
什麽時候，
當點p到達點a時，
什麽時候，
。
(3)有壹個最大值，最大值應該在中間。
當時，s的最大值為12。
(4) 。
9.(湖南常德，2006)兩個全等的直角三角形疊在壹起，使三角形板的銳角頂點與三角形板斜邊的中點重合，其中，，三角形板固定，三角形板繞壹點旋轉，假設射線相交於壹點，射線與線段相交於壹點。
(1)如圖9所示，射線通過壹點時很容易證明，即該點與該點重合。
(2)從圖1所示位置繞點逆時針旋轉三角板，旋轉角度為。
，詢問的值是否已更改？陳述妳的理由。
(3)在(2)的條件下，設兩個三角形板的重疊面積是和的函數。
[解決方案] (1)8
(2)的值不會改變。
原因如下:在和中，
也就是
(3)案例1:當，也就是此時，兩個三角形板的重疊部分是四邊形，這就太多了，太多了，
從(2)中得知:Get
因此
情況二:when，when，即此時，兩個三角板的重疊部分為，
因為，，很容易證明，
即時解決方案
因此
總而言之，當，
什麽時候，
方法2:連接並作用於點，在和中，
方法三:在點上過度動作，在中間，
如此和諧
也就是
10，(湖北宜昌，2006)如圖所示，點O為坐標原點，點A(n，0)為X軸上的移動點(n < 0 = AOBC以AO為壹邊，點C在第二象限，OB = 2oa。矩形AOBC繞A點逆時針旋轉90度，形成矩形AGDE..過A點的直線是y = kx。
(2)當A點位置變化時，△AMH的面積與直角AOBC的面積之比是否變化？陳述妳的理由。
【解法】(1)根據題意:E(3n，0)，G(n，-n)
當x = 0時，y = kx+m = m，f點坐標為(0，m)。
∵Rt△AOF，AF2 = m2+N2，
FB = AF，
∴m2+n2=(-2n-m)2，
簡化:m =-0.75 n，
對於y = kx+m，當x = n，y = 0時，
∴0=kn-0.75n，
∴k=0.75
(2)∵拋物線y=ax2+bx+c經過點e，f，g，
∴
解:a =，b =-，c =-0.75n。
∴拋物線是y = x2-x-0.75n
解方程:
X 1 = 5n，Y 1 = 3n；x2=0，y2=-0.75n
∴H坐標為:(5n，3n)，hm =-3n，am = n-5n =-4n，
∴△AMH面積= 0.5×hm×am = 6 N2；
但是，矩形AOBC的面積= =2n2，∴△AMH:的面積矩形AOBC的面積= 3: 1，它不隨a點的位置而變化.
11，(北京海澱，2006)如圖所示，已知⊙O的直徑AB垂直於E中的弦CD，連接AD，BD，OC，OD，OD = 5。
(1)如果，求CD的長度；
(2)若∠ ADO: ∠ EDO = 4: 1，求扇形OAC(陰影部分)的面積(結果保留)。
[解決方案]
(1)因為AB是⊙O的直徑，所以OD = 5。
所以∠ ADB = 90，AB = 10。
在Rt△ABD中，
又來了，所以，所以。
因為∠ ADB = 90，AB⊥CD.
因此
因此
因此
因此
(2)因為AB是直徑⊙O，AB⊥CD.
因此
所以∠巴德= ∠ CDB，∠ AOC = ∠ AOD。
因為ao = do，∠ bad = ∠ AO=DO。
所以∠ CDB = ∠阿多
設∠阿多= 4x，那麽∠ CDB = 4x。
如果∠ ado: ∠ edo = 4: 1，∠ edo = X。
因為∠阿多+∠江戶+∠ EDB = 90。
因此
所以x = 10。
所以∠aod = 180-(∠oad+∠ado)= 100。
所以∠ AOC = ∠ AOD = 100。
12，(湖南長沙，2006)如圖1所示，已知直線與拋物線相交於兩點。
(1)求兩點的坐標；
(2)求線段中垂線的解析式；
(3)如圖2，取壹根與線段等長的橡皮筋，分別在兩處固定端點。用鉛筆拉動這根橡皮筋，使筆尖在直線上方的拋物線上移動，移動的點會形成無數個三角形。這些三角形中有面積最大的三角形嗎？如果存在，找出最大面積，指出這個點的坐標；如果不存在，請簡要說明原因。
[解決方案]
(1)解法:根據題意得出解法。
(2)軸線的中垂線相交，軸線在兩點上，在(如圖1)。
根據(1):
過軸，垂足。
從，從，
類似地:
讓解析式成為
中垂線的解析式為:
(3)若有壹點使面積最大，則該點在與直線平行且與拋物線只有壹個交點的直線上，直線與軸相交於兩點(如圖2)。
拋物線和直線只有壹個交點，
,
在壹條直線上，
將距離設置為，
到的距離等於到的距離。
。
13，(廣東，2006)如圖所示，平面直角坐標中，四邊形OABC為等腰梯形，BC‖OA，OA=7，AB=4，∠ COA=60，P點為X軸上的動點，P點與0點和a點不重合，連接CP。
(1)求B點的坐標；
(2)當P點移動到什麽位置時，△OCP是等腰三角形，求P點此時的坐標；
(3)當P點移動時，設∠CPD=∠OAB，且=，求P點此時的坐標。
【解法】(1)設BQ⊥x軸在q .
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴∠BAQ=∠COA=60
在rt δ bqa中，BA=4，
∴BQ=AB？sin∠BAO=4×sin60 =
AQ=AB？cos∠BAO=4×cos60 =2，
∴OQ=OA-AQ=7-2=5
b點在第壹象限，
∴b點的坐標是(5，)
(2)如果δδOCP是等腰三角形，∵∠ COP = 60，
此時，δδOCP是壹個等邊三角形或等腰三角形，頂角為120。
如果δOCP是等邊三角形，OP=OC=PC=4，P點在X軸的正半軸上
∴點p的坐標是(4，0)
如果δOCP是壹個頂角為120的等腰三角形，那麽P點在X軸的負半軸上，OP=OC=4。
∴點p的坐標是(-4，0)。
∴點p的坐標是(4，0)或(-4，0)。
(3)如果∠CPD=∠OAB
∠∠CPA =∠OCP+∠COP
並且∠ OAB = ∠ COP = 60，
∴∠OCP=∠DPA
這時，δOCP≈δADP。
∴
∵
∴ ,
AD=AB-BD=4- =
AP=OA-OP=7-OP
∴
Get OP=1或6。
∴點p的坐標是(1，0)或(6，0)。