從1/2(2n+1)= 1/(4n+2)< 1/(4n)& lt；ε
求解n & gt1/(4ε)
所以設N=[1/(4ε)]+1，那麽當N >時；當n時，總有|(3n+1)/(2n+1)-3/2 | <ε成立
從極限的定義來看，lim(n→∞)(3n+1)/(2n+1)= 3/2。
2、取ε& gt；0
因為lim(n→∞)Un=a
然後有n，當n >:當n，總有| un-a |
| UN | = | UN-A+A |≤| UN-A |+A|即| UN |-A |≤| UN-A |
還有| a | = | a-un+un |≤| un-a |+un |即| un |-a | ≥-un-a |+a |。
也就是-| un-a |≤| un | | a |≤| un-a |
即| | Un |-| a | | < | Un-a | & lt；ε
對於上面的n，當n >:當n，|| un|-| a|| < ε成立
從極限的定義知道lim(n→∞)|Un|=|a|。
例:lim (n →∞) | (-1) n | = 1。
而lim (n →∞) (-1) n完全沒有極限。