微分幾何，從字面上看，是從微積分研究幾何。目前前沿領域和物理問題有很大關系。壹般來說是研究流形上的張量場，微分算子，度量等，然後研究流形性質的幾何，但是由於各方面的交叉，和拓撲學，代數幾何，復幾何都有交叉，微分幾何對於任何壹個學幾何的人來說都是重要的壹部分。對於物理學來說，廣義相對論首先建立了微分幾何和物理學的聯系，狄拉克場和楊-米爾斯的耦合相當於壹個扭曲的自旋流形。量子場論的反常和各種性質都來自於流形的拓撲障礙和拓撲性質，π介子能量衰變也由此而來。後來發現物理理論對研究微分幾何很有幫助，比如證明了原本涉及K理論、上同調理論、代數幾何和微分幾何的AS指標定理，拓撲量子場論出現了。
泛函分析最初來源於變分法、積分方程、CW復形等拓撲障礙和流形性質的研究(如Morse理論)，20世紀30年代以後量子力學的數學嚴謹性，算子和路徑積分理論，相當於無窮維空間的微積分和幾何學，也是壹門應用空間相當大的技術。
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