1.1 數列的概念
課時目標1.理解數列及其有關概念；2.理解數列的通項公式，並會用通項公式寫出數列的任意壹項；3.對於比較簡單的數列，會根據其前n項寫出它的通項公式．
1．壹般地，按壹定________排列的壹列數叫作數列，數列中的每壹個數叫作這個數列的項．數列壹般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，…簡記為數列{an}，其中數列的第1項a1也稱首項；an是數列的第n項，也叫數列的通項．
2．項數有限的數列稱________數列，項數無限的數列稱為______數列．
3．如果數列{an}的第n項與序號n之間的關系可以用壹個式子來表示，那麽這個式子叫做這個數列的________公式．
壹、選擇題
1．數列2,3,4,5，…的壹個通項公式為()
A．an＝n B．an＝n＋1
C．an＝n＋2 D．an＝2n
2．已知數列{an}的通項公式為an＝，則該數列的前4項依次為()
A．1,0,1,0 B．0,1,0,1
C.，0，，0 D．2,0,2,0
3．若數列的前4項為1,0,1,0，則這個數列的通項公式不可能是()
A．an＝[1＋(－1)n－1]
B．an＝[1－cos(n·180°)]
C．an＝sin2(n·90°)
D．an＝(n－1)(n－2)＋[1＋(－1)n－1]
4．已知數列{an}的通項公式為an＝n2－n－50，則－8是該數列的()
A．第5項 B．第6項
C．第7項 D．非任何壹項
5．數列1,3,6,10，…的壹個通項公式是()
A．an＝n2－n＋1 B．an＝
C．an＝ D．an＝n2＋1
6．設an＝＋＋＋…＋ (n∈N＋)，那麽an＋1－an等於()
A. B.
C.＋ D.－
二、填空題
7．已知數列{an}的通項公式為an＝.則它的前4項依次為_____．
8．已知數列{an}的通項公式為an＝(n∈N＋)，那麽是這個數列的第______項．
9．用火柴棒按下圖的方法搭三角形：
按圖示的規律搭下去，則所用火柴棒數an與所搭三角形的個數n之間的關系式可以是______________．
10．傳說古希臘畢達哥拉斯(Pythagoras，約公元前570年—公元前500年)學派的數學家經常在沙灘上研究數學問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數．比如，他們將石子擺成如圖所示的三角形狀，就將其所對應石子個數稱為三角形數，則第10個三角形數是______．
三、解答題
11．根據數列的前幾項，寫出下列各數列的壹個通項公式：
(1)－1,7，－13,19，… (2)0.8,0.88,0.888，…
(3)，，－，，－，，…
(4)，1，，，… (5)0,1,0,1，…
12．已知數列；
(1)求這個數列的第10項；
(2)是不是該數列中的項，為什麽？
(3)求證：數列中的各項都在區間(0,1)內；
(4)在區間內有、無數列中的項？若有，有幾項？若沒有，說明理由．
能力提升
13．數列a，b，a，b，…的壹個通項公式是____________________________．
14．根據下列5個圖形及相應點的個數的變化規律，試猜測第n個圖中有多少個點．
1．與集合中元素的性質相比較，數列中的項也有三個性質：
(1)確定性：壹個數在不在數列中，即壹個數是不是數列中的項是確定的．
(2)可重復性：數列中的數可以重復．
(3)有序性：壹個數列不僅與構成數列的“數”有關，而且與這些數的排列次序也有關．
2．並非所有的數列都能寫出它的通項公式．例如，π的不同近似值，依據精確的程度可形成壹個數列3,3.1,3.14,3.141，…，它沒有通項公式．
3．如果壹個數列有通項公式，則它的通項公式可以有多種形式．例如：數列－1,1，－1,1，－1,1，…的通項公式可寫成an＝(－1)n，也可以寫成an＝(－1)n＋2，還可以寫成
an＝其中k∈N＋.
1.2 數列的函數特性
課時目標1.了解數列的遞推公式，明確遞推公式與通項公式的異同；2.會根據數列的遞推公式寫出數列的前幾項；3.了解數列和函數之間的關系，能用函數的觀點研究數列．
1．如果數列{an}的第1項或前幾項已知，並且數列{an}的任壹項an與它的前壹項an－1(或前幾項)間的關系可以用壹個式子來表示，那麽這個式子就叫做這個數列的遞推公式．
2．數列可以看作是壹個定義域為____________(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函數，當自變量按照從小到大的順序依次取值時，對應的壹列________．
3．壹般地，壹個數列{an}，如果從________起，每壹項都大於它的前壹項，即__________，那麽這個數列叫做遞增數列．如果從________起，每壹項都小於它的前壹項，即__________，那麽這個數列叫做遞減數列．如果數列{an}的各項________，那麽這個數列叫做常數列．
壹、選擇題
1．已知an＋1－an－3＝0，則數列{an}是()
A．遞增數列 B．遞減數列
C．常數項 D．不能確定
2．數列1,3,6,10,15，…的遞推公式是()
A．an＋1＝an＋n，n∈N＋
B．an＝an－1＋n，n∈N＋，n≥2
C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N＋，n≥2
D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N＋，n≥2
3．已知數列{an}的首項為a1＝1，且滿足an＋1＝an＋，則此數列第4項是()
A．1 B.
C. D.
4．數列{an}中，a1＝1，對所有的n≥2，都有a1·a2·a3…an＝n2，則：a3＋a5等於()
A. B.
C. D.
5．已知數列{an}滿足an＋1＝若a1＝，則a2 010的值為()
A. B.
C. D.
6．已知an＝，則這個數列的前30項中最大項和最小項分別是()
A．a1，a30 B．a1，a9
C．a10，a9 D．a10，a30
二、填空題
7．已知數列{an}的前n項和為Sn，且a1＝3,4Sn＝6an－an－1＋4Sn－1，則an＝________.
8．已知數列{an}滿足：a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，(n∈N＋)，則使an>100的n的最小值是________．
9．若數列{an}滿足：a1＝1，且＝(n∈N＋)，則當n≥2時，an＝________.
10．已知數列{an}滿足：an≤an＋1，an＝n2＋λn，n∈N＋，則實數λ的最小值是________．
三、解答題
11．在數列{an}中，a1＝，an＝1－ (n≥2，n∈N＋)．
(1)求證：an＋3＝an；
(2)求a2 010.
12．已知an＝ (n∈N＋)，試問數列{an}中有沒有最大項？如果有，求出這個最大項；如果沒有，說明理由．
能力提升
13．已知數列{an}滿足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N＋，則通項公式an＝________.
14．設{an}是首項為1的正項數列，且(n＋1)·a－na＋an＋1an＝0(n＝1,2,3，…)，則它的通項公式是________．
函數與數列的聯系與區別
壹方面，數列是壹種特殊的函數，因此在解決數列問題時，要善於利用函數的知識、函數的觀點、函數的思想方法來解題，即用***性來解決特殊問題．
另壹方面，還要註意數列的特殊性(離散型)，由於它的定義域是N＋或它的子集{1,2，…，n}，因而它的圖像是壹系列孤立的點，而不像我們前面所研究過的初等函數壹般都是連續的曲線，因此在解決問題時，要充分利用這壹特殊性，如研究單調性時，由數列的圖像可知，只要這些點每個比它前面相鄰的壹個高(即an>an－1)，則圖像呈上升趨勢，即數列遞增，即{an}遞增?an＋1>an對任意的n (n∈N＋)都成立．類似地，有{an}遞減?an＋1<an對任意的n(n∈N＋)都成立．
§1 數 列
1．1 數列的概念
答案
知識梳理
1．次序 2.有窮 無窮 3.通項
作業設計
1．B2.A
3．D[令n＝1,2,3,4代入驗證即可．]
4．C[n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)．]
5．C[令n＝1,2,3,4，代入A、B、C、D檢驗即可．排除A、B、D，從而選C.]
6．D[∵an＝＋＋＋…＋
∴an＋1＝＋＋…＋＋＋，
∴an＋1－an＝＋－＝－.]
7．4,7,10,15
8．10
解析 ∵＝，∴n(n＋2)＝10×12，∴n＝10.
9．an＝2n＋1
解析 a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴an＝2n＋1.
10．55
解析 三角形數依次為：1,3,6,10,15，…，第10個三角形數為：1＋2＋3＋4＋…＋10＝55.
11．解 (1)符號問題可通過(－1)n或(－1)n＋1表示，其各項的絕對值的排列規律為：後面的數的絕對值總比前面數的絕對值大6，故通項公式為an＝(－1)n(6n－5)(n∈N＋)．
(2)數列變形為(1－0.1)，(1－0.01)，
(1－0.001)，…，∴an＝(n∈N＋)．
(3)各項的分母分別為21,22,23,24，…易看出第2,3,4項的分子分別比分母少3.因此把第1項變為－，因此原數列可化為－，，－，，…，
∴an＝(－1)n·(n∈N＋)．
(4)將數列統壹為，，，，…對於分子3,5,7,9，…，是序號的2倍加1，可得分子的通項公式為bn＝2n＋1，對於分母2,5,10,17，…聯想到數列1,4,9,16…即數列{n2}，可得分母的通項公式為cn＝n2＋1，
∴可得它的壹個通項公式為an＝(n∈N＋)．
(5)an＝或an＝(n∈N＋)或an＝(n∈N＋)．
12．(1)解 設f(n)＝＝＝.
令n＝10，得第10項a10＝f(10)＝.
(2)解 令＝，得9n＝300.
此方程無正整數解，所以不是該數列中的項．
(3)證明 ∵an＝＝＝1－，
又n∈N＋，∴0<<1，
∴0<an<1.
∴數列中的各項都在區間(0,1)內．
(4)解 令<an＝<，
則，
即.∴<n<.
又∵n∈N＋，∴當且僅當n＝2時，上式成立，故區間上有數列中的項，且只有壹項為a2＝.
13．an＝＋(－1)n＋1
解析 a＝＋，b＝－，
故an＝＋(－1)n＋1.
14．解 圖(1)只有1個點，無分支；圖(2)除中間1個點外，有兩個分支，每個分支有1個點；圖(3)除中間1個點外，有三個分支，每個分支有2個點；圖(4)除中間1個點外，有四個分支，每個分支有3個點；…；猜測第n個圖中除中間壹個點外，有n個分支，每個分支有(n－1)個點，故第n個圖中點的個數為1＋n(n－1)＝n2－n＋1.
1．2 數列的函數特性
知識梳理
2．正整數集N＋ 函數值 3.第2項 an＋1>an
第2項 an＋1<an 都相等
作業設計
1．A2.B3.B
4．C[a1a2a3＝32，a1a2＝22，a1a2a3a4a5＝52，a1a2a3a4＝42，則a3＝＝，a5＝＝.
故a3＋a5＝.]
5．C[計算得a2＝，a3＝，a4＝，故數列{an}是以3為周期的周期數列，又知2010除以3能整除，所以a2
010＝a3＝.]
6．C[∵an＝＝＋1
∴點(n，an)在函數y＝＋1的圖像上，
在直角坐標系中作出函數y＝＋1的圖像，
由圖像易知
當x∈(0，)時，函數單調遞減．∴a9<a8<a7<…<a1<1，
當x∈(，＋∞)時，函數單調遞減，∴a10>a11>…>a30>1.
所以，數列{an}的前30項中最大的項是a10，最小的項是a9.]
7．3·21－n
8．12
9.
解析 ∵a1＝1，且＝(n∈N＋)．
∴··…·＝···…·，即an＝.
10．－3
解析 an≤an＋1?n2＋λn≤(n＋1)2＋λ(n＋1)?λ≥－(2n＋1)，n∈N＋?λ≥－3.
11．(1)證明 an＋3＝1－＝1－
＝1－
＝1－＝1－＝1－
＝1－(1－an)＝an.
∴an＋3＝an.
(2)解 由(1)知數列{an}的周期T＝3，
a1＝，a2＝－1，a3＝2.
又∵a2010＝a3×670＝a3＝2，
∴a2010＝2.
12．解 因為an＋1－an＝n＋1·(n＋2)－n·(n＋1)＝n＋1·＝n＋1·，則
當n≤7時，n＋1·>0，
當n＝8時，n＋1·＝0，
當n≥9時，n＋1·<0，
所以a1<a2<a3<…<a7<a8＝a9>a10>a11>a12>…，
故數列{an}存在最大項，最大項為a8＝a9＝.
13．－
解析 ∵an＋1－an＝，
∴a2－a1＝；
a3－a2＝；
a4－a3＝；
… …
an－an－1＝；
以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋
＝1－＋－＋…＋－
＝1－.
∴an＋1＝1－，∴an＝－.
14.
解析 ∵(n＋1)a－na＋anan＋1＝0，
∴[(n＋1)an＋1－nan]·(an＋1＋an)＝0，
∵an>0，∴an＋an＋1>0，
∴(n＋1)an＋1－nan＝0.
方法壹 ＝.
∴····…·＝····…·，
∴＝.
又∵a1＝1，∴an＝a1＝.
方法二 (n＋1)an＋1－nan＝0，
∴nan＝(n－1)an－1＝…＝1×a1＝1，
∴nan＝1，an＝.